В геометрии односторонние углы образуются при пересечении двух прямых третьей (секущей). Докажем, что сумма односторонних углов равна 180° для параллельных прямых.
Содержание
В геометрии односторонние углы образуются при пересечении двух прямых третьей (секущей). Докажем, что сумма односторонних углов равна 180° для параллельных прямых.
Определение односторонних углов
Односторонние углы - это пары углов, которые расположены по одну сторону от секущей и по одну сторону от соответствующих прямых. При параллельных прямых a и b и секущей c выделяют две пары односторонних углов:
- ∠1 и ∠4
- ∠2 и ∠3
Доказательство теоремы
Дано:
- Прямые a || b
- Секущая c пересекает a и b
- Образовались односторонние углы ∠1 и ∠4
Доказательство:
| 1. | ∠1 + ∠2 = 180° (смежные углы) |
| 2. | ∠2 = ∠4 (соответственные углы при a || b) |
| 3. | Заменим ∠2 на ∠4 в первом равенстве: ∠1 + ∠4 = 180° |
Графическая иллюстрация
a _____________________∠1_____∠2_________ c ================================ b _____________________∠3_____∠4_________ |
Альтернативное доказательство через накрест лежащие углы
- ∠3 = ∠1 (как накрест лежащие при a || b)
- ∠3 + ∠4 = 180° (смежные углы)
- Заменяем ∠3 на ∠1: ∠1 + ∠4 = 180°
Следствия из теоремы
- Если сумма односторонних углов не равна 180°, прямые не параллельны
- Позволяет доказывать параллельность прямых
- Используется при решении задач на построение
Практическое применение
Данное свойство используется при:
- Доказательстве параллельности прямых
- Расчете неизвестных углов в геометрических фигурах
- Решении задач на построение
- Доказательстве других теорем геометрии
Таким образом, мы доказали, что сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей всегда равна 180°. Это свойство является важным инструментом в решении геометрических задач.
